Проблема в том, что если я прослушиваю просто 'keyup' или 'keydown' (либо 'keyup.ArrowLeft' и 'keyup.ArrowRight'), то написанная логика не работает.
Все верно, потому что события нажатия клавиш биндятся ко всему документу, а не какому-то конкретному дом узлу.
Собственно приставка 'document:' означает, что данный метод будет прослушивать глобальные события, а не события конкретного элемента
Тут был задан другой вопрос, но в ответе объясняется что это и как оно работает
P.s. вопрос относится больше к Angular, добавьте тег к вопросу