Функция date вторым параметром принимает timestamp. php.net/manual/ru/function.date.php
В Вашем случае можно написать так:

$time = strtotime('2018-10-14');\\Перевод даты в timestamp
    $date = date('w', $time);
    echo $date;

Почитайте здесь: jquery.page2page.ru/index.php5/Ajax-%D0%B7%D0%B0%D...
и здесь qaru.site/questions/33557/return-value-from-inside...
Еще укажите пaраметр dataType: 'json'. (Данный параметр говорит о том, что вы получаете в ответ json)

function isAdmin() {
  $.ajax({
    url: '../php/index.php',
    type: 'POST',
    data: {'method': 'user.is_admin'},
    dataType: 'json',
    success: handleResponse
  });
}
function handleResponse(result)
{
//здесь код для работы с результатом
}

Вы вызываете функцию isAdmin -> она получает ответ и вызывает функцию handleResponse с параметром result.