Думаю стоит смотреть в сторону MVC модели, форму можно и в html оставить, а в коде контроллера дописать обработчик, либо сделать отдельный php скрипт для обработки формы с возвратом в html страницу.
функция success получит ответ от add_client.php, остается только дать ответ в json формате и обработать массив ответа.
и да указать что мы ожидаем json при отправке запроса dataType:json