Ипатьев

Никак.
Функцию РНР "из onclick" вызвать нельзя
Можно вызвать РНР скрипт только целиком, передав ему данные. обычным аяксом
А уже в РНР можно написать условие, которое, в зависимости от переданных аяксом данных, создаст экземпляр класса и выполнит тот или иной метод.

Если видимые пути полностью совпадают, даже в регистре символов, то дело скорее всего в невидимых символах. Например это может быть перевод строки при чтении из текстового файла.
Для того чтобы их увидеть, можно набросать функцию типа такой

function print_nonprintable($string) {
    $i = -1;
    $ret = '';
    while(isset($string[++$i])) {
        $ret .= ctype_print($string[$i]) ? $string[$i] : urlencode($string[$i]);
    }
    return $ret;
}

И использовать её в сообщении об ошибке. Тогда проблема сразу станет видна.
Правда, эта функция изуродует русский текст, но с поддержкой многобайтных символов у меня сходу решения нет

Это интересный вопрос, одна из неочевидностей РНР, впрочем, документированная

Дополнительно с ключом key будут сделаны следующие преобразования:

• Строки (string), содержащие целое число (int) (исключая случаи, когда число предваряется знаком +) будут преобразованы к типу int. Например, ключ со значением "8" будет в действительности сохранён со значением 8. С другой стороны, значение "08" не будет преобразовано, так как оно не является корректным десятичным целым.
  

В свое время я очень крепко налетел на этом преобразовании. тоже думал, что строки кладу ключами...

Вопрос "почему не выводится" здесь неуместен. Здесь скорее подойдёт вопрос "Этот код вообще хоть как-то работает?" Спойлер: нет.

Этот код неправильный по стольким параметрам, что у меня просто нет слов.
Он писался явно без малейшего понимания, а просто методом "подставлю какой-то код, авось подойдёт".
Причём понимания нет ни на каком уровне - ни того как работает БД, ни того как работает РНР, ни того как РНР работает с БД. Ни даже простого житейского здравого смысла. Зачем в message_get() все эти $user_name = mysqli_real_escape_string ($username);?

Во-первых, с помощью LAST_INSERT_ID получить "последнюю запись" можно только сразу после вставки. А поскольку в "основном коде" получение сообщения явно не выполняется в одной ветке с записью, то LAST_INSERT_ID не сработает. Причём тут даже простой житейской логики нет. Если сначала один пользователь добавил сообщение, а потом второй, то при получении "последнего" как БД узнает, чьё "последнее" сообщение надо показать?
Чтобы показать последнее сообщение для определённого пользователя, надо, как правильно отметили в комментариях, надо отсортировать таблицу по времени добавления и выбрать только 1 строку с помощью LIMIT.
Но кроме этого надо указать, для какого пользователя мы получаем это сообщение.

Во-вторых, функция mysqli_real_escape_string() вызывается неправильно, она будет выдавать ошибку. А по-хорошему вообще нужно использовать не её, а подготовленные выражения.

В-третьих, 'message' в запросе вернёт слово 'message', а совсем не само сообщение.

В-четвёртых, view_message хочет показать несколько значений, но в запросе выбирается только это 'message'

Во-пятых, как правильно написали выше, функция ни сама ничего не возвращает, ни даже не получает запрошенную из БД информацию. Функция должна выглядеть по крайней мере так

function message_get($user_id) {
    global $db;
    $chat_id = mysqli_real_escape_string($db,$user_id);
    $query = "SELECT message_id, user_id as chat_id,  message as `text` 
        FROM `secret_messages` 
        WHERE user_id='$chat_id' ORDER BY id DESC LIMIT 1";
    $result = mysqli_query($db, $query);
    return $result->fetch_assoc();
}

и потом получать при вызове
$post = message_get($user_id);