Клёвый Админ

Итак, чтобы всё работало нужно:
1. На Внешнем интерфейсе включён DHCP клиент, с галками про DNS и Default route
2. На внутреннем интерфейсе DHCP сервер, где в свойствах сети микротик является шлюзом и ДНС сервер либо пустой (клиент получит ДНС от провайдера), либо внешний (например от гугла), либо сам микротик (в свойствах ДНС сервера стоит галка "разрешить внешние подключения")
3. Есть правило нат, где в сорс адрес указан диапазон локальной сети, в исходящем интерфейсе - внешний канал, действие - маскарадинг.

Всё остальное должно быть отключено\не настроено чтобы всё работало. Если добавлены правила файрвола - в топку на время эксперимента, если добавлены маршруты - туда же, мангл - таже история и так далее.

Сделайте настройку через мастер Quick setup и не любите себе мозг.

1. Если проводная сеть ему дома не нужна, и нигде не нужна, то просто отключите на этом интерфейсе dhcp и назначьте только адрес и маску, без шлюза.
2. Если сеть нужна и задача именно в приоритетах интерфейсов, то необходимо указать метрику на интерфейсы в их свойствах: и для беспроводного интерфейса сделать её меньше (с разнице более 100 если я ничего не путаю, но м.б. и разница в 1 уже даст необходимый эффект).
3. Что мешает опубликовать принтер в WiFi? Поднимите виртуалку, дайте ей VLAN в обе сети и расшарьте принтер.

что значит "и, судя по этому, с сервера на клиент пинг не проходит (с клиента все ок)". Это вовсе не поэтому.
Пинг в любом случае использует IP адрес, ему не важно какое там имя, он его сърезолвил используя ДНС и дальше работает уже только с адресом.
Скорее всего правильной работе мешает настройка файрвола на клиенте\настройка маршрутизации на сервере или неправильная настройка туннеля.

Ну и имя пишется в ДНС именно из-за не правильной настройки сервера ВПН, который скорее всего и регистрирует такие кривые записи в ДНС сервере, сомнительно чтобы клиент делал такие глупости.

Но в любом случае без знания версий и конфигураций ПО и деталей - всё это кофейной гущей даже не назвать.

Вам нужно что-то такое.
##### fwmark ######
iptables -t mangle -F
iptables -t mangle -X

iptables -t mangle -A PREROUTING -j CONNMARK --restore-mark
iptables -t mangle -A PREROUTING -m mark ! --mark 0 -j RETURN # if already set, we're done
iptables -t mangle -A PREROUTING -i wan1 -j MARK --set-mark $MARK_WAN1
iptables -t mangle -A PREROUTING -i wan2 -j MARK --set-mark $MARK_WAN2

iptables -t mangle -A POSTROUTING -o wan1 -j MARK --set-mark $MARK_WAN1
iptables -t mangle -A POSTROUTING -o wan2 -j MARK --set-mark $MARK_WAN2
iptables -t mangle -A POSTROUTING -j WAN1 --save-mark

##### NAT ######
iptables -t nat -F
iptables -t nat -X
for local in «list of internal IP/netmask combos»; do
iptables -t nat -A POSTROUTING -s $local -o wan1 -j SNAT --to-source «IP»
iptables -t nat -A POSTROUTING -s $local -o wan2 -j SNAT --to-source «IP»
done

And the rules:
ip rule add fwmark $MARK_WAN2 pref 2000 lookup wan2
ip rule add fwmark $MARK_WAN1 pref 2001 lookup wan1