Как правильно указать путь в Jquery.ajax()?

tsisforever: а что возвращает самостоятельный переход в браузере на mysite.ru/core/wallgetpost.php ?
если тоже пустоту - проблема в вашем PHP скрипте, вероятно.

Как сделать простой слайдер для сайта на jQuery?

Почему бы не использовать готовый? (если только вы не изучаете это для себя)
Тысячи их по запросам типа content slider

Скрипты авторизации для PHP?

misc1: а можно узнать - почему? :) если вы все равно берете готовые решения, не проще ли сократить путь и взять фреймворк, где о таких вещах уже подумали за вас?

Как совершать операции над кликнутым элементом в jQuery?

Что значит "this не работает"? =) Это основная концепция в обработчиках jQuery, если что - this ссылается на объект, на котором произошло событие.

MySQL — как сделать выборку из таблицы многие ко многим?

Вполне возможно, что у вас другие поля в таблице (проверьте названия полей и названия таблиц), я написал просто обобщенную версию такого запроса, конкретных названий ваших полей в таблице (и самих таблиц) я не знаю, сверьте/переделайте названия под правильные свои.

MySQL — как сделать выборку из таблицы многие ко многим?

это алиасы (более удобные названия/сокращения) для таблиц, чтобы не писать каждый раз games-genre.id_genres , а писать вместо это gg.id_genres

PHP + MySQL как приклеить значение таблицы (JOIN) по нескольким условиям?

Из поста непонятно, какой результат вы вообще хотите получить? Выводить продукт в любом случае, даже если для него нет акции?