Дело было в настройках сервера. Хостер отписался на проблему.

Для хостинга LOGOL.RU(Он же теперь REG.RU) - действуем по данной интсрукции:

Переопределение параметров PHP
Очень часто разработчики сталкиваются с необходимостью изменения некоторых параметров PHP для обеспечения корректной работы своих скриптов.

Например, для увеличения размера загружаемых на сервер файлов через PHP-скрипты иногда требуется переопределить переменные post_max_size и upload_max_filesize.

На виртуальном хостинге справиться с этой задачей можно следующим образом:

Создайте в каталоге, где находятся PHP-скрипты, для которых необходимо переопределить значение переменных, файл php.ini;
Пропишите в этом файле переменные и их новые значения, как показано в примере ниже:
post_max_size = 20M
upload_max_filesize = 20M

max_input_vars = 9000 (Для меня требовалась только эта директива, ее и записал в php.ini)

Важно помнить, что переопределённые значения будут действовать для PHP-скриптов только того каталога, в котором находится файл php.ini.

Если требуется изменение переменных в PHP для всех подкаталогов текущего каталога, создайте в текущем каталоге файл .htaccess и пропишите в нём следующую директиву:

SetEnv PHPRC "/home/cpXXXXXX/путь_к_каталогу_с_php.ini"

где cpXXXXXX — логин от хостинговой площадки.

Например:

SetEnv PHPRC "/home/cp100500/public_html"

Изменения вступают в силу немедленно.

Ну собственно разобрался..

procedure TDeliveryForm.sBitBtn1Click(Sender: TObject);
var
CookieManager: ICefCookieManager;
CookiesPath  : String;
CefBack: ICefCompletionCallback;
begin
      CookiesPath := ExtractFilePath(Application.ExeName) + DefaultCookiesDir + 'Site1'; // Задаем путь к "печенькам"
    //  ForceDirectoriesUTF8(CookiesPath); // если пути нет то создаем его
      CookieManager := TCefCookieManagerRef.Global(CefBack); // подключаемся к менеджеру печенек
      CookieManager.SetStoragePath(CookiesPath, True, CefBack); // устанавливаем путь к хранилищу "печенек"
      Chromium1.Load('https://cabinet.SITE.ru/user');   // загрузка страницы
end;