У тега form есть атрибут target, который указывает, куда будет загружаться вывод скрипта. Можно создать скрытый iframe и перенаправлять вывод вызванного скрипта туда.
<h1>Hello <?= $_POST['id'] ?? 0; ?></h1>
<form target="trash" method="post">
<input type="text" name="id">
<button type="submit">Отправить</button>
</form>
<iframe id="frm" name="trash" style="display: none"></iframe>
При большом желании этот вывод можно будет прочитать через js
<button type="button" onclick="alert(document.getElementById('frm').contentDocument.body.innerHTML)">Получить</button>
Но вообще не понятно, зачем это делать, ведь вам нужно будет отобразить, что в корзине уже лежит 1 товар, а для этого лучше все-таки перерисовать страницу.