Ну, во-первых, typescript здесь вообще ни при чем, так как он компилируется в Js.
Во вторых, значение переменной is_favoutite нигде не перезаписывается по коду, а берётся в начале из некого «кэша». В третьих, вы совершаете асинхронную операцию - запрос к бэкэнду на изменение данных, но при этом не пытаетесь даже никак обработать результат этого запроса - колбэк добавить какой нибудь, в промис завернуть, async/await заиспользовать, что тоже промисы, но под капотом.
При таких операциях ответ приходит не сразу же, а через какое то время, поэтому по классике в методы, которые совершают асинхронные операции, добавляют коллбэки - функции, которые могут принять результат и его обработать.
Советую почитать про event loop, промисы, вообще про асинхронность в js. Ну или для начала хотя бы лучше узнать api инструмента, которым пользуетесь, а именно jquery и метод ajax, хотя бы.