Какие способы работы с cookie бывают в java?

Вы, наверное, что-то не то делаете, если у вас REST требует какого-то сохранения стэйта или сессии.

Кто может объяснить данное поведение?

Maks Burkov: в `InboundJaxrsResponse` hello в теле присутствует? А, то может 200 от другого возвращается. Хотя скорее, tomcat или что-то от него подменяет стандартный `System.out`. Попробуй или в дебаге посмотреть, на что в момент вызова `doGet()` ссылается `System.out` или в `main()` сервлета в самом начале сохрани оригинальный `System.out` (`PrintStream stream = System.out;`) и выводи через него.