<form action="process.php" method="post">
означает, что данные передаются скрипту process.php без каких-либо ?botid=tutznachenie<input type="hidden" name="botid" value="<?=$botid ?>" />
, которое передаётся именно методом POST.UPDATE supplier AS s, (SELECT supplier, COUNT(shoes_id ) AS cnt FROM shoes GROUP BY supplier) AS q
SET s.all_shoes = q.cnt
WHERE s.supplier_id = q.supplier