<form action="process.php" method="post">
означает, что данные передаются скрипту process.php без каких-либо ?botid=tutznachenie<input type="hidden" name="botid" value="<?=$botid ?>" />
, которое передаётся именно методом POST.UPDATE supplier AS s, (SELECT supplier, COUNT(shoes_id ) AS cnt FROM shoes GROUP BY supplier) AS q
SET s.all_shoes = q.cnt
WHERE s.supplier_id = q.supplier
P.S. Я прекрасно понимаю, что в PHP 7-8 так не пишут. Но у меня на работе основная часть системы - PHP 5.3 и существенная часть кода написанная ещё на PHP 4. И подобные ситуации встречаются не реже, чем идеально выверенный идеологически правильный код под актуальную версию PHP.