Пока вижу такой вариант: на сервере написать дополнительное приложение (на основе webkit или т.п.) которое по запросу будет открывать страницу и генерировать картинку. Затем эту картинку передавать в веб-сервис. А веб-сервис уже будет отдавать response-ом.
apt install epiphany-browser
тогда владельцем каталога /var/www/wordpress/ и всего содержимого должен быть этот же пользователь, на файлы права 755, на вложенные каталоги 644
nginx/apache2/php-fpm/lighttpd (нужное сами выберите, что там ставили) должен работать так же от имени этого пользователя - см.конфиги