dushu_pitona

bot.polling() не возвращает управление в программу, т.е. всё, что после bot.polling(), не выполнится. Обработчик можно добавить в get_chem(), не выполнится.
Т.е.:

def get_chem(mesage):
    global name
    name=message.text
+   print(name)

Давайте включим логику:

name = '' # ПУСТАЯ строка
...
bot.polling() # бесконечный цикл
print(name) # Функция печати ПУСТОЙ строки

Если под "выводом" вы имели ввиду печать, то я привел как минимум две причины, по которой этого не будет.

сохранять в любом случае переменные для дальнейшего применения в других функция придется через классы.
ответ тут https://qna.habr.com/q/1163398

Если вы используете обычную клавиатуру, не inline, то советую посмотреть в сторону метода register_next_step_handler() В интернете полно примеров использования, в том числе на этом ресурсе.
Но мало где описывается, что помимо объекта сообщения и объекта функции этот метод принимает аргументы, которые в эту функцию передает.
Пример такого использования можете посмотреть тут