Вячеслав Кутенков

AfterLogic, у них есть бесплатная версия.

> чтобы была возможность одновременно работать с почтой (отправлять/принимать письма)
Это делается любым клиентом с любым ящиком, при условии, что оба "умеют" работать по протоколу IMAP. В том числе, и вебмордами к почте (как на почтовых сервисах вроде яндекса/гугла, так и через web-imap клиенты - roundcube/afterlogic).

> при этом видеть, что делают другие.
Тут уже сложнее. Сам по себе IMAP не предоставляет такой информации. Видеть что там делают можно будет (письма отправленные, входящие, etc). Но кто это делает - нет.

Немного странная постановка задачи.
Как вариант, возможно подойдет
Почтовый Веб-интерфейс Afterlogic
www.afterlogic.com
База данных mysql
на php бесплатный
---

Было бы замечательно, если подобное web-приложение позволяло бы копировать, перемещать, удалять, хранящиеся в виде файлов в папках на сервере такие «письма».

Вряд ли вы такое найдете. Но можно установить простой бесплатный почтовик hMailServer. Сделать свой почтовый клиент который будет парсить eml и отправлять на адрес hMailServer. И с помощью Afterlogic все это просматривать через web-интерфейс.

Попробуйте AfterLogic Webmail очень хороший клиент, права платный. Но до 10 аккаунтов вроде можно юзать бесплатно