Спасибо пользователям szQocks и Kentavr16 за наводку!
Видимо, дело было в том, что onclick обрабатывается после mousedown, И всплытии одновременно. В общем, если поставить оба события как mousedown, и уже вместе с этим изменением поставить в кнопку
event.stopPropagation(), код будет работать как надо.

that.close_bt.onmousedown = function(event) {
	event.stopPropagation();
	win_con.list[this.id].remove();
}
that.onmousedown = dragndrop;