Anton8989, Подключение библиотеки vue надо перенести выше, раньше чем вы вызываете её (посмотрите кстати, в консоль, там наверное ошибки)
Подключать в шаблоне надо с собакой.
Я выше писал, можно автозагрузчик использовать из вендора, но это тоже не полное решение.
Смотрите index.php YII-шный, возможно на основе его вы сможете собрать входную точку YII и в другом месте.
Но думаю, этим заниматься не стоит.
Обычный роутинг вам подойдет.
Просто точно не подскажу, так как не работаю с YII.