Вылечилось так:
Настройки -> Системные -> "Подключаться к сайтам, использующим шифрование по ГОСТ. Требуется КриптоПро CSP." Эта настройка была включена.
Я ее выключил, и заработало. Госуслуги открылись.
На компьютере установлен КриптоПро CSP, в Яндекс браузере есть расширение КриптоПро ЭЦП Browser plug-in, используются сертификаты доступа. Но включение / отключение расширений КриптоПро и Госуслуг не влияет на отображение сайтов с шифрованием ГОСТ. Влияет только настройка выше.
Дальнейшее - отдельная тема про шифрование ГОСТ.
Если на следующей неделе создам тему про проблемы с сертификатами на Госуслугах, дам ссылку на нее в этом ответе.