Как с помощью Jqery поменять цвет элементам из пунктов меню?

Да без классов через родителя и активного элемента

Как в php добавить метод к объекту динамически?

Берешь создаешь новый анонимный класс наследуешь от твоего текущего класса, вписываешь свои новые методы и получаешь новый класс со своими динамическими методами
Это как вариант

Почему браузер переходит на главную при нажатии на якорь?

Здесь не вся информация нужно смотреть Event Listner а не просто структуру его, есть ссылка?