От используемой CMS зависит и от наличия ssh.
CMS может давать возможность создать полный архив сайта (файла + БД) и восстановить его скриптом восстановления. Тогда на личный ПК попадет только этот скрипт восстановления а все остальное можно прокачать минуя личный Инет (в этом ведь цель?).
Если с обеих сторон есть ssh, то проблем вообще нет. Нужно сделать архив файлов, дамп и архив БД и перетащить по scp. Дальше обратная процедура.
Кстати, есть хостеры, которые переносят сайты сами. Вот это вообще просто с точки зрения заказчика. И зачастую бесплатно.