Насколько я понимаю, на должность "Программист-инженер" могут претендовать только выпускники технических вузов ?
Нет, меня приглашали на собеседование в крупный банк на должность тимлида (отдела разработки), заведомо зная, что у меня нет диплома о высшем профильном образовании (у меня другие дипломы :) Но, зная мой опыт работы и примерный послужной список... Т.е. буквально отвечая на Ваш вопрос -
можно. Вопрос в Ваших объективных знаниях, а не в дипломах.
P.S. Если ещё точнее - в один из банков - точно можно. За все банки мира - сказать затрудняюсь.