В секции select можно указывать поля которые есть в group by, либо поля с агрегационные функциями, например max(id).

Ваш запрос будет работать вот так))
SELECT `category` FROM `shop` GROUP BY `category` ORDER BY `category` DESC

Чтоб работал ваш запрос, с * можно поправить настройку sql_mode, сейчас она у вас sql_mode=only_full_group_by. Но это не рекомендуется

Ну в лоб так, если взять последние 7 дней у которых есть посты то

SELECT DATE_FORMAT(`date`, '%Y-%m-%d') AS my_date, count(id) FROM posts GROUP BY my_date ORDER BY `date` DESC LIMIT 7

а если взять 7 дней с учетом, что в какой то день не было постов, то как то так

select DATE_FORMAT(`date`, '%Y-%m-%d') AS my_date, count(id) FROM posts WHERE my_date IN (
  DATE_FORMAT(NOW(), '%Y-%m-%d'),
  DATE_FORMAT(FROM_UNIXTIME(UNIX_TIMESTAMP(NOW()) - 1 * 24 * 60 * 60), '%Y-%m-%d'),
  DATE_FORMAT(FROM_UNIXTIME(UNIX_TIMESTAMP(NOW()) - 2 * 24 * 60 * 60), '%Y-%m-%d'),
  DATE_FORMAT(FROM_UNIXTIME(UNIX_TIMESTAMP(NOW()) - 3 * 24 * 60 * 60), '%Y-%m-%d'),
  DATE_FORMAT(FROM_UNIXTIME(UNIX_TIMESTAMP(NOW()) - 4 * 24 * 60 * 60), '%Y-%m-%d'),
  DATE_FORMAT(FROM_UNIXTIME(UNIX_TIMESTAMP(NOW()) - 5 * 24 * 60 * 60), '%Y-%m-%d'),
  DATE_FORMAT(FROM_UNIXTIME(UNIX_TIMESTAMP(NOW()) - 6 * 24 * 60 * 60), '%Y-%m-%d')
) GROUP BY my_date