Как добавить изображения к катерогиям в классе wp_widget_categories?

Вы чего?!! В ядро лезть нельзя!
Создайте свой класс и наследуйте его от WP_Widget_Categories. А так же поменяйте id виджета и название.

Wordpress плагин календаря со ссылками на посты(страницы) но не по дате публикации?

Плагинов календарей очень много. Вот некоторые https://athemes.com/collections/best-event-calenda...

Как отключить обновление определенного кода?

naum-ov, Напиши тут js который обновляет. А то пальцем в небо.

Как отключить обновление определенного кода?

Нужно больше деталей. Часть js где происходит обновление. И что именно хотите не обновлять в html элементе.

Как решить задачу с Polylang (мультиязычностью)?

Для Polylang в любом случае нужно два поста. На разных языках. Можете использовать функцию pll_get_post для получения итендификатора под текущий язык. Или же использовать другой, более удобный для вас плагин. Если очень нужен один пост, можете создавать мета поля для каждого языка и сохранять текст на другом языке.

Как вывести дату разблокировки учётной записи?

Посмотрите в код плагина, где он хранит данные. Скорее все в user meta. А дальше выведите там где нужно.
Посмотрите в документацию плагина, возможно там описанно как это сделать.
И еще уточние какой плагин. Плагинов милион, а про какой вы говорите никто не знает.

Как создать подобный конструктор товара на wordpress?

Поищите в интернете https://ru.blogpascher.com/%D0%BF%D0%BB%D0%B0%D0%B...

Код add_filter вызывает ошибку Warning: Illegal offset type in. Можно ли это как то исправить?

zeni1agent, возможно проблема в том что вы зачем то перезаписываете массив
Вместо

$filter->set('tax_query', array(
            array(
                'taxonomy' => 'post_tag',
                'field' => 'slug',
                'terms' =>  $terms,
                'operator' => 'NOT IN'
            )
        ));

Попробуй

$filter->set('tax_query', array_merge( $filter->get('tax_query', array()), array(
            array(
                'taxonomy' => 'post_tag',
                'field' => 'slug',
                'terms' =>  $terms,
                'operator' => 'NOT IN'
            )
        ) ));

Код add_filter вызывает ошибку Warning: Illegal offset type in. Можно ли это как то исправить?

zeni1agent, продебажте код. Провертеть условия в функции exc_post в первом варианте.

Код add_filter вызывает ошибку Warning: Illegal offset type in. Можно ли это как то исправить?

zeni1agent логику поменяй) у тебя одна переменная $file и она общая для двух обработчиков. Когда ты вызываешь add_filter, действие не происходит сразу, это как событие. Вот пример как можно поменять логику

add_filter('pre_get_posts', function($filter)  {
 $file = 'filter1/level_1.txt';
if ($_SESSION['filter1'] == '') {
    $file = 'filter1/level_1.txt';
} else if ($_SESSION['filter1'] == 1) {
    $file = 'filter1/level_1.txt';
} else if ($_SESSION['filter1'] == 2) {
    $file = 'filter1/level_2.txt';
}
    return exc_post($filter, $file);
});

add_filter('pre_get_posts', function($filter) {
$file = 'filter2/level_1.txt';
if ($_SESSION['filter2'] == 1){
    $file = 'filter2/level_1.txt';
} else if ($_SESSION['filter2'] == 2){
    $file = 'filter2/level_1.txt';
} else if ($_SESSION['filter2'] == ''){
    $file = 'filter2/level_2.txt';
}
    return exc_post($filter, $file);
});

Как отобразить цвета на архиве WooCommerce?

Alien93, Вот пример но я не проверял код, главное что бы логику поняли

jQuery(document.body).on('change', '#pa_color', function (event) {
    var selectElement = jQuery(event.currentTarget),
        color = selectElement.val(),
        formElement = selectElement.parents('.variations_form'),
        productVariations = JSON.parse(formElement.attr('data-product_variations'));

    for ( var index in productVariations ) {
        var productVariation = productVariations[index];

        if (productVariation.attributes.hasOwnProperty('attribute_pa_color') && productVariation.attributes.attribute_pa_color == color) {
            var productElement = formElement.parents('.product:first');

            productElement.find('.attachment-woocommerce_thumbnail').attr('src', productVariation.image.url);

            break;
        }
    }
});

Как отобразить цвета на архиве WooCommerce?

Там json массив.
При клике на black. Проходите по массиву и выбираете те пункты в которых есть в поле "attributes" значение "atribute_pa_color" == "black". Далее из этого пункта берете image.url и меняете src атрибуту картинки. Все)

Как определить, что мы в данный момент выводим "категорию по умолчанию"?

Не совсем понял что вы ожидаете.
В woocommerce есть шаблон taxonomy-product_cat.php, это архив для категорий. То есть отображаются продукты в определенных категориях. Можете там проверку вставлять.
Если у вас где то вывод категорий. типо wp_list_categories(). То это кастомное решение и его нет в woocommerce по умолчанию. Приведите кусок кода что бы было понятно, куда вы собираетесь вставить.

Как отобразить цвета на архиве WooCommerce?

Alien93, Допишите js, который при клике будет менять картинку. В чем сложность?)

Код add_filter вызывает ошибку Warning: Illegal offset type in. Можно ли это как то исправить?

Вместо
$dir = plugin_dir_url( __FILE__ );
Нужно
$dir = plugin_dir_path( __FILE__ );

Код add_filter вызывает ошибку Warning: Illegal offset type in. Можно ли это как то исправить?

file_get_contents говорит что файла нет.
Вы неправильно путь передаете "HTTP://LOCALHOST/WOR/WP-CONTENT/PLUGINS/GOG11/FILTER2/LEVEL_1.TXT".
Это что за диск на windows такой "http"?

Как отобразить цвета на архиве WooCommerce?

Если нет желания самому писать то используй готовые решение. Вот пример https://ru.wordpress.org/plugins/color-and-image-s...
Таких плагинов полно, просто используй гугл.

Как вывести рубрики?

wp_list_categories( array(
    'hide_empty' => false,
	'title_li' => ''
) );

Как вывести рубрики?

MRcracker, Немного не понял вас, вы же сказали что вам нужно "вывести название всех рубрик", зачем вам их убирать?

Как заставить работать вариации WooCommerce?

Скажите а на русском вариации добавили?