Иван

У Вас в запросе нету колонок 'name' и 'value', а только tableName
Но это только цветочки:

• tables - зарезервированное слово в MySQL
  
• используйте PDO вместо mysqli_*
  

Давайте пройдемся по коду:
1. Нужно исправить метод login в классе Auth

public static function login($name, $password) {
      $db = Db::getInstance();
      $name = intval($name);
      $password = intval($password);
      $req = $db->prepare('SELECT * FROM users WHERE name = :name AND password = :password');
      $req->execute(array('name' => $name, 'password' => $password));
      $login = $req->fetch();

      //return new Auth($login['name'], $login['password']); - Зачем здесь возвращать новый инстанс этого же класса?
      return $login; // - возможно вам это нужно
    }

2. В контроллере нужно выводить полученные данные

$loginData = $login->login($name, $password);
 //отображает имя из формы а не из БД
echo $loginData->name;

Это только то что можно исправить чтобы заработало, но в остальном весь код нужно переделать:
Это уберите немедленно -

$name = intval($name);
$password = intval($password);

Это тоже не нужно

<?php
  class AuthController {
    public function index() {
        require_once('views/auth.php');
    }
}

Вместо этого используйте автозагрузку (в идеале composer)
Переделайте модель авторизации, не используйте публичные свойства, вместо них private & getters

$newmas = array_map(function($item) {
    return ['url' => $item];
}, $mas);

$newmas = [];
foreach ($mas as $item) {
    $newmas[] = ['url' => $item];
}

Можно объявить объект внутри метода второго класса:

class Class2 {
  function funct1() {
    $data1 = new Class1();
  }
}

Или если так не подходит то передать в параметр функции:

$data1 = new Class1();

class Class2 {
  function funct1($data1) {
    
  }
}
Class2::funct1($data1);

$range = 200;
$text = "Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Aperiam consectetur corporis excepturi minus natus quasi recusandae. Aliquid deleniti, dolores est expedita facere fugiat iste laboriosam mollitia nulla quae quas quasi qui quod rem repudiandae saepe vero! A at iste magnam qui rerum vel veritatis vero voluptates? Accusantium ad alias atque doloremque doloribus dolorum eius eos esse eveniet facilis fugit illum labore molestias mollitia neque nulla numquam odit omnis ratione recusandae repellendus rerum saepe tenetur ut velit, veniam voluptate voluptatum. Consequatur culpa delectus minus necessitatibus officiis quae quo suscipit! Dolor dolorem impedit saepe. Ab aliquam amet laudantium modi quis temporibus, vero.";
$word = "magnam ";
$position = strpos($text, $word);
$text_position = max($range/2, $position);
$print = substr($text, $text_position-$range/2, $range);
echo $print;

Не очень хорошо так формировать код активации, но в данном случае обходите циклом каждого $user и проверяете соответствие кода в ссылке с base64_encode($user['email'])
Но лучше если есть возможность хранить данные о пользователях в БД, а при отправке e-mail формировать код подтверждения и также записывать в БД с привязкой к юзеру.

Пишите запрос на получение данных о компании где id = $user['company_id']:

...
$sql = 'SELECT * FROM company WHERE id = :id';
$result = $db->prepare($sql);
$result->bindParam(':id', $user['company_id'], PDO::PARAM_INT);
...

Ну а результат выводите в удобной вам форме с использованием HTML-разметки.