Иван

У Вас в запросе нету колонок 'name' и 'value', а только tableName
Но это только цветочки:

• tables - зарезервированное слово в MySQL
  
• используйте PDO вместо mysqli_*
  

Давайте пройдемся по коду:
1. Нужно исправить метод login в классе Auth

public static function login($name, $password) {
      $db = Db::getInstance();
      $name = intval($name);
      $password = intval($password);
      $req = $db->prepare('SELECT * FROM users WHERE name = :name AND password = :password');
      $req->execute(array('name' => $name, 'password' => $password));
      $login = $req->fetch();

      //return new Auth($login['name'], $login['password']); - Зачем здесь возвращать новый инстанс этого же класса?
      return $login; // - возможно вам это нужно
    }

2. В контроллере нужно выводить полученные данные

$loginData = $login->login($name, $password);
 //отображает имя из формы а не из БД
echo $loginData->name;

Это только то что можно исправить чтобы заработало, но в остальном весь код нужно переделать:
Это уберите немедленно -

$name = intval($name);
$password = intval($password);

Это тоже не нужно

<?php
  class AuthController {
    public function index() {
        require_once('views/auth.php');
    }
}

Вместо этого используйте автозагрузку (в идеале composer)
Переделайте модель авторизации, не используйте публичные свойства, вместо них private & getters

$newmas = array_map(function($item) {
    return ['url' => $item];
}, $mas);

$newmas = [];
foreach ($mas as $item) {
    $newmas[] = ['url' => $item];
}

select 
Locality.*,
Doubles.title as double_title
from localities as Locality
left join localities as Doubles
on Doubles.title like concat('%', Locality.title, '%') and not Doubles.id = Locality.id

Запрос тяжелый, но выведет сразу все дубли

Учите SQL: join

SELECT 
testt.*, 
doctors.* 
FROM testt 
LEFT JOIN doctors 
ON testt.sec = doctors.id 
WHERE '2018-05-13' BETWEEN date_in AND date_out

Нашел другой выход: создать папку поиска с нужным отбором.

А нужно так:

<form method="GET" id="formx2" action="/index1.php">
<input style="display: inline-block;width: 70%;" class="form-control" placeholder="Укажите ссылку на страницу сайта" name="id" value="" type="text" required="">
<input class="form-control" style="display: inline-block" value="Отправить" type="submit">
</form>

Можно объявить объект внутри метода второго класса:

class Class2 {
  function funct1() {
    $data1 = new Class1();
  }
}

Или если так не подходит то передать в параметр функции:

$data1 = new Class1();

class Class2 {
  function funct1($data1) {
    
  }
}
Class2::funct1($data1);