Александр Гавва

Кешируйте count нужной сущности по каждому юзеру в его модели, или где вам покажется более правильным.
Обновлять его можно несколькими вариантами. Можно создать очередь в которую будет периодически валиться job после определенного действия пользователя. Можно задать временные интервалы обновления рейтинга, например 4 раза в сутки, и в промежутки по 6 часов потихоньку обновлять count по каждому пользователю (в таком случае кешировать мы будем старое и новое значение и их время, а рейтинг обновлять, когда у всех новое значение будет в требуемом промежутке).

Я так полагаю "пропал" - это пропал из FireBug/DevTools, а не из самого css-файла?
В верстке, инспектируя элемент, вы видите, что к элементу применены стили, а в шаблоне эти стили не применяются?
Если да, значит селекторы, которые "пропали", не соответствуют выбранному элементу.

Ваши требования специфичны.
Пакеты наподобие https://github.com/cmgmyr/laravel-messenger смысла брать за основу нет.
Нужно разрабатывать с нуля. По сути это же комментарии, верно?)
Про мобильное приложение вообще алес. При чем тут ларавел?
Если просто прочитать все, что вы написали, кажется, вы пишете не на тостер, а на фрилансим

Попробуйте memory_limit увеличить

class Category extends Eloquent
{
    public function products()
    {
        return $this->has_many('Product');
    }
    protected static function boot() {
        parent::boot();
        static::deleting(function($Category) {
             $Category->products()->delete();
        });
    }
}

Таким образом мы перед удалением категории удаляем сначала все продукты, затем удаляем категорию.

Лучше сменить теги для вопроса, выложить дамп таблиц.
Проблема в том, чтобы понять какой вообще запрос нужно написать, а уж как его в Laravel оформить - дело десятое.

Нужно задать этот вопрос хостеру. У вас запрещено изменение параметров директивы Options в файле .htaccess