Алексей

Судя по симптомам - блок питания уходит в защиту, возможно сгорела одна из ламп подсветки.
Лампа либо меняется, либо "эмулируется" (заменяется на подходящий высоковольтный конденсатор например).
Можно заодно заменить на LED подсветку.
Но если возник вопрос "что с ним", то лучше в сервис.
Так же есть вероятность что слетела прошивка, тогда замена памяти и заливка прошивки.

1) Скорее всего замкнули дорожки
2) 1 общий + 6 от каждой кнопки
3) Кто знает как конкретно этот контроллер считывает нажатие кнопки, в смысле какой порог по напряжению выставлен.
Судя по тому что режимы переключаются и есть замыкание - клей подойдет, только надо аккуратнее все сделать, то есть устранить замыкание между дорожек.
4) Вариант разбирать прибор дальше и соединить семью проводками.

Как вариант, можно после отбраковки перед упаковкой спарить устройства и положить в коробку уже спаренными.

Про батарейки.
При параллельном соединении суммируется емкость при сохранении напряжении, падает ток в каждой отдельной батарее (ну да, он суммируется, только, условно вместо 1 у нас 1/2 + 1/2).
При последовательном суммируется напряжение, однако цепь при повышенном напряжении уже потребляет другой ток (более высокий) или сгорает.