Я просто не верю, что пишу это, но кажется я наконец разобралась. В файле functions.js был прописан скрипт, который каждый раз запускался при отправке контактной формы и выдавал всплывающее сообщение. И поэтому все мои header("Location: ... ) не работали. После удаления этого скрипта все стало как надо.
