ah0R

Нашел решение задачи самостоятельно(основной)

Надо было ctx заменить на res, чтобы он реагировал именно на нажатие, а не на того, кто создал сообщение

res = await bot.wait_for('button_click')
            current_time = datetime.now().time()
            member = res.guild.get_member(res.user.id)
            role = res.guild.get_role(792385427679477790)
            rolex = res.guild.get_role(792399225459310613)
            channel = res.guild.get_channel(880840475312001065)
            log = discord.Embed(title = 'Получил Роль', description = '**Участник** \n' '<@%d>' % (res.author.id), colour = 0x00FF00)
            log.set_footer(text = "Сегодня в %d:%d" % (current_time.hour, current_time.minute))
            if res.component.label.startswith("Стать другом Monro!"):
                await res.respond(content="Поздравляю, тебе выданы роль <@&792385427679477790> и <@&792399225459310613>!")
                await res.author.add_roles(role, rolex)
                await channel.set_permissions(ctx.author, overwrite = discord.PermissionOverwrite(view_channel = True, send_messages = True))
                await channel.send(
                      embed = log)

Но проблема с

Так же иногда вылетает "Ошибка взаимодействия"

осталась :(