Пальцем в небо — у пользователя под которым работает exim должны быть права выполнять unsubscribe.php, и писать в лог файл. Лог файл указывайте с полным путем, для теста пихайте его куда нубудь в /tmp/test.log.
На постоянную работу вместо прямой записи в лог лучше используйте системный syslog.
