Ответ который дал Сергей Горностаев, правильный. Но если нет возможности или желания использовать backend, то можно также реализовать это через localStorage, но в нем, естественно, есть свои ограничения.
Есть несколько вариантов из основных, почему могут не работать иконки у вас:
1) Иконка fa-house доступна только в pro версии font-awesome (к слову)
2) Попробуйте поставить класс fa перед fa-icon name
3) Возможно ваши стили перекрывают стили font-awesome, перепроверьте в консоли разработчика (часто иконки не работают из-за изменения font-famaly шрифтов)