Дмитрий Шицков

Гугл очень часто использует базу Спамхаус. Выберетесь оттуда - Гугл скорее всего пропустит.

php.net/manual/ru/function.imap-open.php
Можно открыть любую папку IMAP

Используйте imap_mime_header_decode для декодирования имен файлов

К словам Петр Иванов добавлю, что relay можно сделать и из postfix или exim - гугл знает как. Понадобится только авторизация пользователей для отправки.
А вот как включить релеинг на Office365: https://technet.microsoft.com/en-us/library/dn5543...

1. Забираем почту с помощью fetchmail, с помощью metamail извлекаем аттач.
   
2. Льём аттач по FTP куда необходимо.
   

Лучше одумайтесь и используйте гугл/яндекс и т.п.

Список почтовых серверов вам подкинули.
Помимо стандартной настройки необходимо учесть следующие важные пункты, для того, чтобы почта не регистрировалась как спам:

• На DNS-сервере должна быть PTR-запись, указывающая на доменное имя почтового сервера
  
• На DNS-сервере должна быть SPF запись
  
• Приветствие SMTP должно совпадать с доменным именем почтового сервера и PTR-записью
  
• Крайне желательно настроить DKIM
  
• Крайне желательно настроить DMARC
  
• TLS/SSL тоже неплохо
  

Вы с чего почту отправляете? С сервера организации? Что выдаст проверка вашего домена тут:
mxtoolbox.com/domain

Блочить письма должны получатели. Вы лишь можете предоставить им методы подтверждения подлинности ваших писем, а именно: SPF, DKIM и DMARC. Именно наличие DMARC записи указывает, что делать получателю с письмами в зависимости от политики:

• none - не принимать никаких особых действий, всё на усмотрение почтовика;
  
• quarantine - отпарвить в спам;
  
• reject - не принимать письмо.
  

Но опять же, обработка всех этих записей, всё это на усмотрение сервера получателя...

Rambler повесил в блок ваш сервер, пишите туда.
На всякий случай, проверьте свой сервер:
mxtoolbox.com/domain