Подключите Яндекс.Диск к серверу по WebDav, примонтировав как каталог в директории домена.
И заливайте в него файлы через свой сайт, как если-бы они заливались к вам на сервер.
Можно монтировать даже не весь Ядиск, а какой-либо конкретный каталог на нем.