WebSpider

Ищите в каталоге application/views
Какой именно файл нужно отредактировать не видя кода не могу сказать, но это можно посмотреть в контроллере. Для начала надо найти какое действие какого контроллера выполняется по этому пути (если Kohana версии 3, то в файле application/bootstrap.php обычно прописываются роуты, по которым можно найти название нужного контроллера). Далее в коде контроллера должно быть что-то вроде

$view = new View('bla-bla'); // Имя файла application/views/bla-bla.php

Далее уже смотреть какие другие файлы подключаются в этом файле

99%, что проблема не в Кохане. Я очень много работаю с Коханой и таких проблем никогда не возникало. Попробуйте вот так
var_dump($this->request->query('a'));
Если выведет NULL, то проблема точно не в Кохане

Не оно?
github.com/kolanos/kohana-universe

Наверно всё же имелось ввиду Request::factory('profile')

Что значит «получить от суб-контроллера» список стилей? Вы делаете обычный подзапрос, он возвращает отреднеренную страницу (или часть). Точно так же можно сделать и внешний запрос, типа Request::factory('http://yandex.ru'). Уточните, пожалуйста, вопрос

Похоже вы в конструкторе модели забыли написать parent::__construct(), если переопределяли его.
Какая версия фреймворка, кстати? 3.0 или 3.1? Если 3.1, то модель надо наследовать от класса Model_Database.

P.S. $this->_db надеюсь из модели вызывается? Что показывает var_dump($this->_db)? А вообще следует делать запросы через DB::query(...)