Как объявить переменную для всех объектов класса php?

Лучше даже self::$a, раз будет использоваться только внутри класса.

Как починить отсутствие интернета (локальная сеть присутствует)?

Судя по ip r, для интернета не указан шлюз. Вероятно потому что слово gateway в /etc/network/interfaces.d/enp2s0 написано не верно.
Но не понятно как это работало... Хотя может вручную прописывали шлюз и он работал до перезагрузки.