Vindicar

А почему так много аргументов subprocess.Popen()?
"powershell putty.exe ", login, "@", name_server, " -pw", password, - 6 штук.
В документации четко написано: "args should be a sequence of program arguments or else a single string or path-like object. "
А также:
class subprocess.Popen(args, #и так далее
args без звёздочки, так что это должен быть ОДИН аргумент. Т.е. коллекция строк, например, список.

Поищи по "SSH port forwarding". Вот хороший пример.
Если коротко, есть три варианта. Локальный форвардинг означает "любой коннект на указанный порт на локальной машине должен пробрасываться на SSH сервер, а сервер должен пробрасывать его на указанный порт на указанном адресе".
Удалённый форвардинг означает "любой коннект на указанный порт на SSH сервере должен пробрасываться на этот клиент, а клиент должен пробросить его на указанный порт на указанном адресе."
Динамический форвардинг проще, но менее контролируемый. Он означает "клиент слушает указанный локальный порт и притворяется SOCKS-прокси. Любое соединение пробрасывается через SSH-сервер, который соединяется с целевым адресом по своему усмотрению."
Любой форвардинг длится, пока длится SSH-сессия.
Так что в твоём случае нужен локальный форвардинг. При этом поскольку сервер БД на одном хосте с сервером SSH, ssh-сервер должен пробрасывать соединения на localhost:порт сервера бд. А твоё ПО будет коннектиться на localhost твоей машины, и тот порт, который ты указал как локальный. Можешь для простоты задать его таким же, как порт сервера БД.