Поищи по "SSH port forwarding". Вот
хороший пример.
Если коротко, есть три варианта. Локальный форвардинг означает "любой коннект на указанный порт на локальной машине должен пробрасываться на SSH сервер, а сервер должен пробрасывать его на указанный порт на указанном адресе".
Удалённый форвардинг означает "любой коннект на указанный порт на SSH сервере должен пробрасываться на этот клиент, а клиент должен пробросить его на указанный порт на указанном адресе."
Динамический форвардинг проще, но менее контролируемый. Он означает "клиент слушает указанный локальный порт и притворяется SOCKS-прокси. Любое соединение пробрасывается через SSH-сервер, который соединяется с целевым адресом по своему усмотрению."
Любой форвардинг длится, пока длится SSH-сессия.
Так что в твоём случае нужен локальный форвардинг. При этом поскольку сервер БД на одном хосте с сервером SSH, ssh-сервер должен пробрасывать соединения на localhost:порт сервера бд. А твоё ПО будет коннектиться на localhost твоей машины, и тот порт, который ты указал как локальный. Можешь для простоты задать его таким же, как порт сервера БД.