Проблема решается достаточно просто, если у вас Manifest версии 2, то запросы можно свободно отправлять через фоновый процесс расширения, если Manifest версии 3, то аналогично можно спокойно слать запросы, но уже через сервис-воркер расширения. Вам лишь надо наладить связь с фоном / воркером.
