ThunderCat

$xml_object у вас это(внезапно) именно xml объект(а не строковая переменная). По этому записать его в файл вы не сможете. И вообще слабо понятно зачем.

var_dump($data->object);

вообще это плохая практика, выводить хтмл через echo/print, хтмл выводите как хтмл, пхп как пхп, и все будет понятно и без лишней путаницы. Например:

<img src="http://chart.apis.google.com/chart?cht=qr&chs=150x150&chl=<?= htmlentities(urlencode(mysql_result($result,$i,file_name)));?>">

1)

if (empty($_POST["email"])) {
    $errorMSG .= "Email is required ";
} else {
    $email = $_POST["email"];
}

тут вообще можно вставить что угодно и проканает, крутая проверка...
2) как я уже написал в комментах - встроенная mail() - самый неудачный вариант.
3)

$success = mail($EmailTo, $Subject, $Body, "From:".$email);

From:".$email должен указывать имеющийся на хостинге мэйл, для которого есть mx запись, вы же туда пишете совершенно левый адрес.

UPD:

function submitForm(){
    // Initiate Variables With Form Content
    //var name = $("#name").val();
    //var email = $("#email").val();
    //var message = $("#message").val();
      let data  = $('#contactForm').serialize();

    $.ajax({
        type: "POST",
        url: "php/form-process.php",
        //data: "name=" + name + "&email=" + email + "&message=" + message,
        data: data,
....

А в бд мне нужно просто создать 4 таблицы для каждого вида? Или есть другой способ?

Описание слишком примитивное. От нюансов зависит. Если свойства не постоянные(или имеется вероятность изменения количества свойств) то будет таблица сущностей с общими свойствами, переменные свойства выносятся в отдельную таблицу, а наличие свойства у конкретного экземпляра в другую таблицу. В итоге джоином 3 таблиц получают кастомный набор свойств у любого экземпляра.
Если это принципиально разные классы объектов (например товары и публикации - обе сущности имеют заголовок, описание, дату создания... но есть еще куча разных свойств. и это реально разные по логике сущности) то наследуются от базового объекта, и далее каждый имеет свою таблицу и свои классы.

Как сделать систему переписки?

сесть и сделать. Написать код(клиента и сервера), создать бд/таблички, настроить сокеты... Много чего сделать чтоб создать...

Ну как в ВК, или Telegram.

Вообще 2 разные системы, первая сайт-соцсеть, вторая приложение.

Как сделать её быстрой?

Оптимизировать код, оптимизировать запросы, купить сервер по мощнее, раздать всем быстрый интернет...

Ваще прям с самого нуля, от добавления в базу данных до выведения на страницу.

Ваще прям с нуля сначала пишете код добавления в базу, потом вывода на страницу, потом еще кучу всего, потом отладка, дебаг, тестирование, рефакторинг... Короче все как обычно, ничего принципиально отличного от любой другой задачи.

И как сделать чтобы показывалось прочитано или нет.

при загрузке сообщения смотреть активно ли окно диалога, если активно - на сервер отослать что сообщение прочитано, если нет - по активации окна отослать что все ранее присланные сообщения прочитаны.

Редактирование и удаление сообщений.

Да. В смысле делай. Все так же, код редактирования, код удаления...

Так не делается. Выбирается пользователь с нужным никнеймом, затем переданный пароль хешируется методом используемым при регистрации(если используется простое хэширование) и сравниваются хеши, или проверяется через password_verify, если использовалось более современное решение через password_hash().