Tesla

Я просто в layout.blade прописываю <title>@yield('title', 'Default value')</title>
Если дочерний шаблон не устанавливает секцию 'title', то выводится 'Default value'.

Возможно mysql иногда подтормаживает, вряд ли это с фреймворком связано. Копайте в сторону log-slow-queries.

Во-первых, у вас роут 'car.store' принимает POST, а форма отправляет GET, что соответствует главной странице. Укажите в форме

<form action="{{ Route('car.store') }}" method="post">

А во-вторых:

class Car extends Model
{
    protected $table = 'cars';
    protected $fillable = ['car'];
}

В $fillable надо перечислить все свойства модели, которые можно изменять.

protected $fillable = ['car', 'mark', 'color', 'age', 'power'];

Можно забиндить модели в роутах.

Route::model('region', \App\Models\Region::class);
Route::model('category', \App\Models\Category::class);
Route::model('good', \App\Models\Good::class);

Route::get('/{region}/{category}/{good}', 'GoodsController@show');

Модели инжектятся в роуты и автоматически проверяются на существование. В контроллере будут готовые экземпляры моделей.

public function show(Region $region, Category $category, Good $good){
//
}

Вам останется только проверить, принадлежит ли товар к этой категории и к этому региону.

Если Laravel 5.2, то нужно добавить ['middleware' => 'web'] к роуту:

Route::get('foo', function () {
    return csrf_token(); // null
});

Route::group(['middleware' => 'web'], function () {
    Route::get('bar', function () {
        return csrf_token(); // works
    });
});

Правильно было бы сделать свой Paginator, унаследовать его от Illuminate\Pagination\Paginator или Illuminate\Pagination\LengthAwarePaginator, и в методе url() добавить проверку на вывод первой страницы. Но тогда придется создавать пагинатор вручную, передавая ему необходимые параметры.

Странно, что в Illuminate\Database\Eloquent\Builder Paginator вызывается напрямую, а не через DI, это решило бы все проблемы.

Вынесите логику из контроллера, например, в командную шину или репозиторий. Не знаю, что вам лучше подойдет.

Можно использовать Eloquent mutator, чтобы не мусорить в контроллере.

cviebrock/eloquent-sluggable - первая ссылка в гугле по запросу "slug laravel".

Похоже, вы просто не знаете, что в SQL кроме оператора '=' есть еще оператор 'IN'. Это чтобы 3 запроса в один объединить :)

Роли и права
https://github.com/Zizaco/entrust

А при чем тут средства Laravel? Ну ловите средствами PHP try {...} catch (ErrorException $e) {...}