Spetros

Ограничения размер раздела boot нет.
Его лимит такой же, как и для любого другого раздела. Это уже после 2TB сложности могут возникнуть.

хотя эта библиотека там лежит.

Там лежит - это где?
Третья строчка вашего upd2 гласит:

libipps.so.8.2 => not found

Как интернету подключены?
Если напрямую, то вопрос - сетевая карта настроена в соответствие с теми параметрами, что выдал вам провайдер?

Попробовал запрос сайта curlом сделать в резте получаю хтмл сайта провайдера и так при обращении к любому внешнему сайту.

В этом html страничка провайдера с сообщением об ошибке случайно не спрятана?

В браузере все ок, в терминале крокозябры. В чем может быть дело?

Очевидно, в терминале. Он точно поддерживает utf-8?

Цель как можно быстрого изучения какая?
Сдать экзамен по предмету на который не ходил?

Вариантов множество: vnc, ssh, web-интерфейс.

Есть ли решения позволяющие организовать синхронизацию с сервером?

Их много
en.wikipedia.org/wiki/Comparison_of_file_synchroni...

Нормальный компьютер для XP и 7-ки 32-битной.
Интернет тормозит, потому что памяти для обработки современных страничек у него уже маловато. Можно часть плагинов и красивостей в браузере отключить и меньше страниц одновременно открывать. Замена ОС ситуацию не изменит.

Для html принято парсеры использовать.

Вообще-то скринсейвер и спящий режим - разные вещи.
Если в вашем дистрибутиве есть графическая оболочка, то через нее можно настроить.

как я понял малинка переходит в спящий режим.

И как вы поняли, что она засыпает?

А что отслеживать хотите то?
Логи можно и банально по почте скриптом отсылать: как сеть появилась, так отправка и началась.

Желательно привести описание конфигурации железа.
Не для всех мостов и мат.плат такая неисправность является типовой.
Может и БП 5 вольт не выдавать, а могут и конденсаторы вздуться.

МОЖНО ЛИ КАК НИБУДЬ ПРОВЕРИТЬ ЭТО не меняя мост?

Вы, что, мост на древнем хламе хотите менять? :-)
Может не тратить на него время и сразу на помойку?

Желательно понимание английского языка.
https://wiki.debian.org/DebianCustomCD
Но если искать информацию в интернете не умеете, то никак.

Ядро ОС обновите.
Что за мат.плата и сетевые?

Нужно указать, что для удаленной сессии будет использоваться xfce4
echo xfce4-session >~/.xsession
How to install xrdp in Ubuntu 14.04

GRUB поддерживает загрузку с iso: добавляете путь к нужному образу диска, правите загрузочное меню, перезагружаетесь и выбираете пункт загрузки с этого образа.
askubuntu.com/questions/367011/boot-windows-7-iso-...

Похоже на проблемы с оперативной памятью.

Без создания копий не обойтись.
Можно снять образ системы и запустить его в виртуальной машине. Либо установить(склонировать) системы на на разные диски и подключать эти диски к виртуальной машине.
Но конфиг "железа" для системы запущенной в виртуальной машине будет отличаться от реальной.