Akina, Этого мало. Его ж еще надо будет распаковать и запустить как-то. А на это может прав не хватить. Да и антивирус может ругаться на такое поведение.
AlexSer, собрать драйвер на библиотеках / исходниках, которые установить из репозитория ОС.
Либо попробовать поиграть с LD_LIBRARY_PATH в скрипте запуска приложения, указав путь к вашим библиотекам Qt.
AlexSer, вы библиотеку собирали на версии Qt, которая поставляется совместно с операционной системой?
А так у вас ошибка version `Qt_5_PRIVATE_API' not found. По этой причине и не работает загрузка драйвера libqsqlmysql.so