Григорий Боев

1) Проверьте все соединения. Провода по возможности короче
2) Проверьте код. Для начала просто повторите то что есть
3) Если есть официальные примеры, проверьте на них
4) Проверьте версию библиотеки.
5) Попробуйте другую версию библиотеки.
6) Попробуйте другую библиотеку.
7) Есть конвертер 5>>3.3?

Wide Supply Voltage Range
  I/O Voltage (VDDI to DGND): 1.65V ~ 3.3V (VDDI≦VDD)
  Analog Voltage (VDD to AGND): 2.4V ~ 3.3V

8) Возможно есть несколько ревизий экрана, смотрите даташиты

Если моно звук, 1 голос, меандр - то любая ардуинка или хоть какой-то контроллер.
Можно использовать библиотеки, можно сделать самому. Ля первой октавы - 440Гц, в октаве 12 полутонов, от октавы до октавы разница в частоте - 2 раза.
Т.е. полтона вверх - это
частота_ноты*(1+2^(1/12) )
Полтона вниз - это
частота_ноты*(1-2^(1/12) )

Другой вариант - был проект известного китайского товарища на восьминогой тиньке (45/85), которая имеет в составе PLL и может wav файлы проигрывать.

А по факту - есть готовые платы (непрограммируемые, ищите на Али по "Звуковой модуль «сделай сам»"), и уж с новогодней мелодией там точно что-то найдётся.

1. Кракозябры = скорее всего неверные настройки скорости/чётности.
   
2. Стоит также попробовать какие-нибудь другие драйверы
   
3. И проверить Rx-Tx(попробовать поменять местами)
   

Можно через мультиплексоры соединить: 8 или 9 штук по 8 каналов, зависит от схемы, каскадная или нет.
Как вариант - нарисовать эти кнопки на бумажке и использовать тачскрин, стоят они недорого, суть та же.
Или пробовать соединять в матрицу 8*8, но не факт что будет работать надёжно.

Вдовесок к всему сказанному - порекомендую easyelectronics.ru

С учётом нынешней стоимости ардуинок, за пару тысяч лет окупится

74HC595

Попробуйте немного нагрузить линии +12 и +5 (жёлтый и красный соответственно) чем-нибудь, например лампочкой. Возможно что уходит в защиту из-за перекоса в нагрузках.
Или, другой вариант, питать ESP через преобразователь до3,3В, а его попробовать подключать к +5 или к +12, возможно что это поможет.
Для устранения ВЧ шума - возле каждого потребителя(на его стороне) поставьте керамический конденсатор небольшой, например 0,1мкФ.
Проверьте модули по отдельности, возможно просто один из них мёртв.

PS: что за девайс планируется, если не военная тайна?

Проверьте на земляные петли

Вариантов много

1) Возьмите IIC переходник для дисплея
2) Программно разделите время работы часов и дисплея, как предложили выше
3) "Аналоговые" выходы - это дополнительный функционал, они так же могут работать и как цифровые.

Без стабилизатора тока что-нибудь испустит волшебный белый дым. Как выше верно написали - 3,3 - это просто 3,3 после стабилизатора, а не выход самого микроконтроллера.

Если совсем никак, а хочется - то можно подключить
1) 4 красных светодиода последовательно (или 3 синих/белых)
2) Плюс светодиода - на выход контроллера, минус - на те самые 3,3.

Но это как прыгать с моста на резинке - может и весело кому-то, но плохо кончится, проще добыть любой резистор 500-2000 Ом

Запросто, возможно даже без доп. устройств получится. Если хотите сэкономить выводы - начните с дисплея - подключите его через переходник

Всё на 100% зависит от того как коммутированы диоды в кубе. Смотрите схему, отследите куда нужно подать +питания(лог 1), а куда 0 для включения конкретного диода. И в соответствии с этим выставляйте ножки на контроллере.

Для экономии выводов обычно в таких случаях применяют сдвиговые регистры, например 74HC595 как преобразователь последовательного интерфейса в параллельный. Ими чуть сложнее управлять, чем просто ногодрыг, и скорость снижается пропорционально, зато есть возможность теоретически безграничного расширения выводов по 3 проводам

setMaxSpeed - это и есть "определенное число шагов в секунду", т.е. скорость
А вместо
stepper1.moveTo(position);
в вашем случае лучше использовать
stepper1.move (300);