https://developers.google.com/api-client-library/j... - Документация по API для поиска, добавления, получения информации о видео (Внимание, при добавлении всех зависимостей этой библиотеки в проект, велика вероятность столкнуться с проблемой в 65к методов, будьте внимательны)
https://developers.google.com/youtube/android/player/ - Документация по API для воспроизведения видео.
Везде есть примеры, я разобрался по ней, в течении нескольких часов. Конкретнее ничего подсказать не могу, так как нет конкретного вопроса.

Если у вас это "первая" (Launch) активити, воспользуйтесь советом automatik
Если вы вызывали эту активити через startActivity() то вместо finish() используйте finishAffinity();