1) Нужно ли понимать как работает компьютер на самом низком уровне? Как кодируются и обрабатываются сигналы в процессоре и как выводится ответ на экран?
Судя по тому, что у вас выставлен тег "веб-разработка" - нет, не надо.
2) Нужно ли обязательно знать "исподнюю" языков программирования, то есть как устроен и как работает интерпретатор или компилятор того или иного языка? Где он хранится в программе-обработчике и как взаимодействует с ОС и компьютером в целом?
Тоже нет, зачем тратить время на такую фигню, если можно сразу пойти рубить сотни тысяч на фрилансе?
3) Нужно ли хорошо знать математику?
Нет, это даже вредно.
4) Нужно ли хорошо знать английский язык?
Нет, на Апворке можно через Гуглтранслейт спокойно общаться.
5) Каким образом лучше учить программирование( в частности веб-разработку: сайты, приложения и т.д.) и в какой момент можно смело сказать себе: "Я - программист", ведь конечной точки нет, верно?
Как заработаете свой первый миллион на jQuery. то есть, где-то через полгода.