Hlib

isFunc1 = true;
let doSomething = () =>{
   if(isFunc1){
      function1();
      isFunc1 = false;
   } else {
      function2();
      isFunc1 = true;
   }
}

P.S. еще проще

isFunc1 = true;
let doSomething = () =>{
  isFunc1? function1() : function2();
}

и в самих функциях переопределять isFunc1

В чистом js такое встречается только в упрощенной записи строк:

let b = 'hello'
let a = 'privet' + b + 'eeee'

Тоже самое что

let b = 'hello'
let a = `privet ${b} eeee`

То что скинули вы - это jQuery
$() это тоже самое что document.querySelector();
Думаю что такое querySelector вы загуглить сможете

Смотря как у вас происходит авторизация
Вы прокидываете ключ сессии в куки?
Если да, то проверяйте ее наличие при загрузки страницы.

В вашем случае, это довольно не очевидно, по сути вы убиваете суть компонентов, создавая кучу одинаковых классов с разным текстом.
Я бы не стал создавать отдельный класс для каждого вопроса, а составил объект, где хранил бы вопросы/варианты ответов
При клике на следующий вопрос, перерендеривал бы страницу, а выбранный ответ пушил в массив ответов, проще всего это выглядит вот так

Все что можно понять из ошибки, это то, что модуль не найден
Проверьте правильность директории, возможно вы не экспортируете index.js?

Вставьте код в конец блока body.
В head он прогрузится быстрее чем сам body, соответственно в body ничего не будет, когда js начнет исполнять свой код
p.s. Java это не JavaScript

a.push(Math.ceil(Math.random(1,100)));

Самый простой способ, сделать это через LocalStorage https://tproger.ru/articles/localstorage/. Однако это вам не подойдёт, если хотите чтобы была привязка к аккаунту, а не компьютеру.

В случае аккаунта можно было бы записывать в бд данные о том, на каком вопросе остановился человек
И делать это все через сессии и куки, конечно же