Как правильно проверить переменные на undefined?

Смотри на строчку TypeError

Как правильно проверить переменные на undefined?

Cannot read property name of undefined
Если перевести дословно то, не могу прочитать свойство name у undefined

Как сделать такой счетчик?

s0xzwasd, так в первом комментарии же уже все написали, для соответствующих полей использовать соответствующие тэги, изменяющееся пользователем значение, используем инпут, тег p для текста

Как сделать такой счетчик?

Andrew9205, почитай про семантику в html и accessibility твой вариант работает, но не уверен что тебя по голове кто либо погладит за такое

Как работает накопление в цикле js?

1 Прочитай про неявное привидение типов в js.
2 var sum = 0 тут происходит инициализации и объявление переменной это происходит раньше цикла в котором сумма увеличивается, для наглядности можешь поставить внутри цикла console.log(sum) и увидишь что на каждой итерации сумма увеличивается на 1

Как доработать этот код, чтобы окно появлялось после третьего клика?

const counter = $.cookie('page_counter') ? $.cookie('page_counter') + 1 : 0

$.cookie('page_counter', counter, { expires: 30, path: '/' });

Не забудь в условие обернуть, иначе на каждой странице будет увеличиваться счетчик, и если пользователь заходит регулярно, то он увидит модалку только 1 раз.