Мои варианты:
1. Вы хотите сделать редирект на адрес site.ru/?rty=23423
2. Вы хотите передать в бекенд (через proxy_pass/fastcgi_pass/...) запрос как будто в нём никогда не было параметра mvx
egor_nullptr: ну да. ^~ означает, что если этот location заматчился, то не нужно искать кандидатов среди location заданных регулярками. Сам location при этом префиксный, т.е. в вашем случае запрос буквально должен быть GET /api/(.*) HTTP/1.0