Если нужно прям что-то своё, уникальное, то вам достаточно переинициализировать console.log своей функцией, например console.log = () => {}, ну и по такой же схеме console.error и т.д.
А если вам нужно только для отладки, то рекомендую
https://github.com/liriliri/eruda, это эмулятор dev tools
Ошибки вы сможете перехватить в window.onerror например, но только те которые не обвёрнуты в try catch, тут нужно будет самостоятельно обрабатывать каждый try catch