Это не сложно реализовать. Вам нужен комет сервер или его SaaS аналог. На onkeydown отправляете сообщение из js в комет сервер по websockets а второй человек так же подключённый по websockets получает это сообщение.
Я на таком механизме делал некоторое подобие совместной игры в танчики. Прогонять от одного человека до другого по 10-20 сообщений в секунду абсолютно нормально. Для игры немного дёргано выглядит а для пересылки символов вполне себе нормальное решение. Особенно если сделать как во всех плагинах автокомплитов, задержку в 100 - 300 миллисекунд чтоб отправлять не по одному символу за раз а по 2 -3 символа в тех случаях когда человек быстро печатает.
Для пробы я вам рекомендую использовать saas решение, так как это проще, а дальше смотрите сами есть варианты также для размещения на своих сервера но я с ними не работал.
Вот
пример чата но вам его немного под себя переделать придётся для решения вашей задачи.