div.innerHTML +="qwe"
Вас вводит в заблуждение оператор
+=
- вам кажется, будто бы к содержимому div что-то там добавляется. Это не совсем так - содержимое div полностью перезаписывается. Соответственно, ранее добавленные элементы будут удалены и заменены новыми. А к новым элементам никаких обработчиков вы не привязываете - отсюда и отсутствие вывода в консоль.
Если хотите, чтобы добавление текста не приводило к перезаписыванию содержимого элемента, выполняйте его с помощью методов
insertAdjacentText или
append. Или создавайте текстовый узел посредством
createTextNode или
Text и добавляйте его через appendChild.